Modul 24-M-AL-HCAT Höhere Kategorien

Die Studieren beherrschen weiterführende Inhalte und Methoden des Gebiets Höhere Kategorien, insbesondere können sie selbstständig sehr komplexe und ein höheres Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen. Sie erwerben die Grundlagen der Höheren Kategorien, um sie in anderen Bereichen der Mathematik routinemäßig anwenden zu können. Konkret:

• Die Studierenden können zentrale Begriffe der Theorie (z.B. höhere Kategorie, Anima, co-kartesische Fibrationen, Kan-Erweiterungen) definieren und im Kontext anwenden
• Studierende kennen führende Beispiele der Theorie (z.B. Animae, abgeleitete Kategorien, Diagrammkategorien) und können diese Beispiele zur Veranschaulichung von Konzepten und Theoremen verwenden, z.B. können Studierende Kan-Erweiterungen in einfachen Situationen berechnen.

Die Studierenden werden in der Theorie der Höheren Kategorien an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Höhere Kategorien zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Bereich Höhere Kategorien sind obligatorisch:

• Quasikategorien und der kohärente Nerv (quasicategories and the coherent nerve)
• Joyal’s Faserungstheorie (Joyal’s fibration theory)
• Grothendieck’s Homotopie Hypothese (Grothendieck’s homotopy hypothesis)
• Straightening/Unstraightening
• (Co)limiten, Adjunktionen, Kan-Erweiterungen (colimits, adjunctions and Kan extensions)

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• Vollständige Segal Animae
• Monoidale höhere Kategorien
• E_1 und E_\infty-Gruppen
• Spektren
• Operaden
• Animation
• Grundlagen algebraischer K-Theorie

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Solide Kenntnisse in den Grundlagen der gewöhnlichen Kategorientheorie (Funktoren, natürliche Transformationen, Yoneda's Lemma, (Co)Limites werden erwartet.
Weiterhin empfohlen: Grundlagen der Homotopietheorie (wie z.B aus der Algebraischen Topologie 2)

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