Modul 24-M-GT-TOPG Topologische Gruppen

Die Studierenden beherrschen die Inhalte und Methoden der Theorie der Topologischen Gruppen, insbesondere können sie selbstständig auch sehr komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet durchführen.
Sie können zentrale Begriffe der Theorie (z.B. Haarmaß, Gitter, stetige Wirkung) erklären und korrekt anwenden. Studierende können das Haarsche Maß mit Hilfe des Transformationssatzes für explizit gegebene Liegruppen bestimmen. Sie kennen Leitbeispiele der Theorie (Matrixgruppen über den reellen oder den p-adischen Zahlen, Isometriegruppen) und können an diesen Begriffe und Sätze illustrieren. Z.B., können Studierende das Haarsche Maß mit Hilfe des Transformationssatzes für explizit gegebene Liegruppen bestimmen.

Ferner erkennen die Studierenden weiterreichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierenden auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Topologische Gruppen zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Bereich Topologische Gruppen sind obligatorisch:

• Wichtige Begriffe aus der Topologie:
  • lokale Kompaktheit
  • Separabilität
  • Metrisierbarkeit
  • Trennungseigenschaften
  • Fundamentalgruppe
• Wirkungen und Untergruppen
• Kommutativität der Fundamentalgruppe
• Existenz des Haarmaßes und Eindeutigkeit bis auf Skalierung
• Konkrete Formeln für das Haarmaß in Beispielen (wie GL_n)
• Unimodularität
• Gitter
• Wichtige Beispiele:
  • reelle Liegruppen
  • p-adische Liegruppen
  • Isometriegruppen
• Totalunzusammenhängende Gruppen

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• Hilberts fünftes Problem
• Dualitätstheorie von Pontryagin
• Strukturtheorie kompakter Gruppen

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Maß- und Integrationstheorie, Algebra,Geometrie und Topologie

—