Modul 24-M-GT-AT1 Algebraische Topologie 1

Die Studierenden beherrschen die grundlegenden Inhalte und Methoden der Algebraischen Topologie , insbesondere können sie selbstständig komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen. Sie erwerben die Techniken für substantielle Rechnungen mit Homologie, lernen grundlegende Eigenschaften des euklidischen Raums kennen und sind mit simplizialen Mengen vertraut. Konkret:

• Die Studierenden sind in der Lage, zentrale Begriffe der Theorie (z.B. singuläre Simplizes, Zellkomplexe, Fundamentalklassen) zu definieren und im Kontext anzuwenden
• Die Studierenden kennen Anwendungen der Theorie (z.B. Jordans Trennungssatz oder der Abbildungsgrad) und können Beispiele zur Veranschaulichung von Konzepten und Theoremen verwenden, z.B. können sie die Homologie von Räumen berechnen, die komplizierter sind als projektive Räume.

Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden grundlegenden Lehrinhalte aus dem Bereich Algebraische Topologie sind obligatorisch:

• Singuläre und zelluläre Homologie
• Zellkomplexe und simpliziale Mengen
• Klassische Anwendungen, e.g. Invarianz der Dimension, Offenheit injektiver Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Satz vom Igel, Brouwer’scher Fixpunktsatz, Jordan’scher Trennungssatz, Satz von Borsuk-Ulam
• Berechnungen in relevanten Beispielen, etwa Stiefelsche und Grassmann’sche Mannigfaltigkeiten, orthogonale/unitäre Gruppen
• Fundamentalklassen und Abbildungsgrade

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:

• Simpliziale Homologie und simpliziale Approximation
• Singuläre und zelluläre Kohomologie
• Homologie von Produkten
• Ext, Tor und die Koeffiziententheoreme
• Satz von Dold-Kan
• De Rham-Kohomologie
• Garbenkohomologie
• Euler’sche Polyederformel
• Lefschetz‘ Fixpunktsatz
• Plättbarkeit von Graphen
• Zelluläre Approximation

Themen aus einem Bachelorstudium, wie Topologische Räume und Fundamentalgruppen, Lineare Algebra über den ganzen Zahlen werden vorausgesetzt, empfohlen werden darüber hinaus Grundkenntnisse über Kettenkomplexe und Homologie

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