Modul 24-M-AN-HAN Harmonische Analysis

Die Studieren beherrschen weiterführende Inhalte und Methoden der Harmonischen Analysis, insbesondere können sie selbstständig, auch sehr komplexe und ein hohes Maß an fachlichen Kompetenzen erfordernde Beweise in diesem Gebiet führen. Die Studierenden werden in die feinen Eigenschaften von reellen Funktionen eingeführt. Sie sind in der Lage, grundlegende Operatoren in der reellen Analysis zu erkennen, wie z.B. die Maximal-Funktionen, die Fourier-Transformation und Integraloperatoren, die als Fundamentallösungen von PDEs auftreten. Sie sind in der Lage, die Beschränktheit solcher Operatoren zu beweisen und Methoden der Fourier-Analyse anzuwenden, die für die vertiefte Analyse von partiellen Differentialgleichungen wichtig sind.

Die Studierenden werden im Bereich Harmonische Analysis an aktuelle Forschungsfragen herangeführt. Sie können weitere Entwicklungsmöglichkeiten und Forschungsziele erfassen und einschätzen.
Ferner erkennen die Studierende weiter reichende Zusammenhänge zu bereits erarbeiteten mathematischen Sachverhalten. Sie können die bislang erlernten Kenntnisse und Methoden auf tiefer liegende mathematische Problemfelder übertragen und anwenden. Aufgrund einer intensiveren Auseinandersetzung erweitern die Studierende auch ihre mathematische Intuition.
Sie werden im Zusammenspiel mit weiteren vertiefenden Modulen fachlich und methodisch in der Lage sein, im Anschluss eigene Forschungsarbeiten, z. B. eine Masterarbeit im Bereich Harmonische Analysis zu verfassen.
In den Übungen bauen die Studierende ihre Fähigkeit zur fachmathematischen Diskussion aus und bereiten sich so weiter auf die Anforderungen des Mastermoduls, insbesondere auf die fachliche Diskussion im Rahmen des Masterseminarvortrags und die Verteidigung ihrer Masterarbeit, vor.

Die folgenden weiterführenden Lehrinhalte aus dem Bereich Harmonische Analysis sind obligatorisch:
Interpolation, Maximal-Funktionen, temperierte Distributionen, Fourier-Analyse, oszillierende Integrale und die Methode der stationären Phase, Calderon-Zygmund-Theorie der singulären Integrale, Fourier-Multiplikatoren, Littlewood-Paley-Theorie, Einführung in Pseudodifferentialoperatoren

Darüber hinaus können z.B. die folgenden Lehrinhalte behandelt werden:
Fourier-Restriktion oder Strichartz-Abschätzungen, unendlich teilbare Verteilungen und Levy-Khintchine-Formel

Dieses Modul bereitet inhaltlich eine Masterarbeit vor.

Reelle Analysis, Maß- und Integrationstheorie, Lebesgue-Räume, Grundkenntnisse über elliptische partielle Differentialgleichungen

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