Modul 24-B-TG Topologie und Geometrie

Die Studierenden beherrschen die Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie, d.h. sie sind in der Lage, diese Begriffe fachlich korrekt zu verwenden und so. bei vielen zunächst abstrakten und unanschaulichen Problemen einen Anschluss an das räumliche Vorstellungsvermögen zu gewinnen. Sie können ihr erweitertes räumliches Anschauungsvermögen zum eigenständigen Führen mathematischer Beweise einsetzen. Sie können mit verschiedenen geometrischen Objekten von zentraler Bedeutung fachlich angemessen umgehen und verfügen somit über die grundlegenden Kenntnisse und Fertigkeiten, die in vertiefenden Veranstaltungen zur algebraischen Geometrie, algebraischer Topologie, Differentialgeometrie, globaler Analysis, Funktionalanalysis, Algebra, Zahlentheorie bis hin zur mathematischen Physik benötigt werden. Sie sind sicher in der Anwendung der Methoden der Geometrie und Topologie und können diese auf neue Problemstellungen der Geometrie und Topologie erfolgreich übertragen.

Den Kompetenzerwerb in den Grundtechniken des mathematischen Arbeitens im Gebiet der Topologie und der Geometrie, die Fähigkeit zur Anwendung der Methoden und das Führen mathematischer Beweise unter Anleitung sowie die Präsentations- und Kommunikationsfähigkeit sowie Ausdauer als mathematische Grundkompetenz weisen die Studierenden in den Übungen durch die Studienleistung nach. Das weitergehende Verständnis der Zusammenhänge und Begriffe, das eigenständige Führen der Beweise sowie die Sicherheit in der Anwendung der Methoden auch in neuen Problemstellungen wird in der Abschlussprüfung nachgewiesen.

1. Allgemeine Topologische Eigenschaften: Metrische und topologische Räume, stetige Abbildungen, Vergleich von Topologien (gröber, feiner), Kompaktheit, Trennungsaxiome, Zusammenhang, Satz von Tychonov, Produkttopologie, Summen- und Quotiententopologie.
(Optional: Funktionenräume, Sätze von Urysohn und Tietze, Zerlegung der 1, Kategorien und universelle Eigenschaften)

2. Mannigfaltigkeiten, Differenzierbarkeit, Beispiele: Projektive Räume, Grassmann'sche.
(Optional: Tangentialbündel, Lie Gruppen und Homogene Räume, Vektor- und Faserbündel, Garben)

3. Überlagerungen, Hochhebungseigenschaft, Homotopien, Fundamentalgruppe, Klassifikation von Überlagerungen, Seifert-van Kampen.
(Optional: Details der Galois-Korrepondenz, i.e. Galois-Überlagerungen, Automorphismen vs Normalisatoren, u.s.w., Orientierungen von Mannigfaltigkeiten, Graphen und freie Gruppen, Browersche Fixpunktsatz und Fundamentalsatz der Algebra)

Kompetenzen der fachlichen Basis in Analysis und Linearer Algebra (24-B-MG1, 24-B-MG2) sowie je nach gewählter Vorlesung weitere Kompetenzen

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