Modul 24-M-Opt Optimization for Quantitative Economics

This module introduces the student to the mathematical foundations of (i) convergence : continuity of functions and the underlying topological structure in metric spaces and (ii) convexity and optimization and their use in economic models.

The students learn about the foundations of calculus in metric spaces and convex analysis. This should provide a deep understanding as well as techniques, which allow the students to deal with optimization problems with and without constraints.

(In diesem Modul werden die Studierenden in die mathematischen Grundlagen von (i) Konvergenz: Stetigkeit von Funktionen und die unterliegende topologische Struktur metrischer Räume und von (ii) Konvexität und Optimierung sowie deren Anwendung in ökonomischen Modellen eingeführt. Die Studierenden erlernen die Grundlagen der Theorie metrischer Räume und der konvexen Analysis. Dies führt sowohl zu einem tiefen Verständnis als auch zu einem Repertoire an Techniken, mit dessen Hilfe die Studierenden in die Lage versetzt werden, Optimierungsprobleme mit und ohne Nebenbedingungen zu behandeln.)

The module consists in one lecture with the following content:

A. Convergence in metric spaces

Metric spaces, distance, norm on a vector space, open and closed sets, sequences in a metric space, continuity, uniform continuity. Compact sets in a metric space. Complete spaces, Contractions. Finite dimensional vector space. Complement to calculus : Frechet differentiability and the Implicit function theorem

B. Convexity and optimization

B.1. Convexity of sets and functions. Convex sets. Examples : budget sets, balls, production sets. Convex and concave functions, graph, epigraph and hypograph. Quasiconvex and quasiconcave functions. Strictly convex and quasi convex functions. Characterization of a convex funtion with its first order derivative. Characterization of a convex funtion with its second order derivative. Topological properties of convex sets. Projection on a closed convex set. Separation theorems. Orthogonality and polarity. The bipolar theorem. Farkas lemma.

B.2. Optimization under constraints

B.2.1. Unconstrained optimization. Global and local maximum (minimum). First order necessary conditions. Second order necessary condition and second order sufficient condition. Global maxima for concave (convex) functions. Examples.

B.2.2. Constrained optimization. Convexity conditions and Slater condition. The Kuhn-Tucker problem in convex programming (statement without proof). Applications of Kuhn-Tucker Theorem in consumer theory and producer theory. More examples of Applications of Kuhn-Tucker Theorem. Linear programming. Quadratic programming

Books:
Simon, C., Blume, L., Mathematics for Economists, (1994) Norton.De La Fuente, A., Mathematical Methods and Models for Economists, 2nd Ed. (2005) Cambridge University Press.

(Dieses Modul besteht aus einer Vorlesung mit den folgenden Inhalten:

A. Konvergenz in metrischen Räumen

Metrische Räume, Abstand, normierte Vektorräume, offene und abgeschlossene Mengen, Folgen in metrischen Räumen, Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit, kompakte Mengen in metrischen Räumen, vollständige Räume, Kontraktionen, endlich-dimensionale Vektorräume. Ergänzend zur Analysis: Frechet-Differenzierbarkeit und der Satz über implizite Funktionen

B. Konvexität und Optimierung

B.1. Konvexität von Mengen und Funktionen. Konvexe Mengen. Beispiele: Budget Mengen, Kugeln, Produktionsmengen. Konvexe und konkave Funktionen, Graphen, Epigraph und Hypograph. quasikonvexe und quasikonkave Funktionen. strikt konvexe und quasi konvexe Funktionen. Charakterisierung konvexer Funktionen mittels der ersten Ableitung.Charakterisierung konvexer Funktionen mittels der zweiten Ableitung, topologische Eigenschaften konvexer Mengen. Projektionen auf abgeschlossene Mengen. Trennungssätze. Orthogonalität und Polarität. Bipolar-Theorem. Farkas Lemma.

B.2. Optimierung unter Nebenbedingungen

B.2.1. Optimierung ohne Nebenbedingungen. Globales und lokales Maximum (Minimum). Notwendige Bedinungen erster Ordnung. Notwendige und hinreichende Bedinungen zweiter Ordnung. Globale Maxima für konkave (konvexe) Funktionen. Beispiele

B.2.2. Optimierung unter Nebenbedingungen. Konvexitätsbedingungen und Slater Bedingung. Kuhn-Tucker Problem in konvexen Programmen (ohne Beweis). Anwendungen des Kuhn-Tucker Theorems in Haushalts- und Prodouktionstheorie. Weitere Beispiele der Anwendung des Kuhn-Tucker Theorems. Lineare Programmierung. Quadratische Programmierung

Literatur:
Simon, C., Blume, L., Mathematics for Economists, (1994) Norton.De La Fuente, A., Mathematical Methods and Models for Economists, 2nd Ed. (2005) Cambridge University Press.)

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