240033 Proseminar Variationsrechnung (PS) (SoSe 2020)

Ziel der Variationsrechnung ist das Minimieren oder Maximieren reellwertiger Funktionale, d.h. Abbildungen von einem normierten Raum X in die reellen Zahlen. Während man sich in der Analysis I+II vor allem mit dem Fall X=IR bzw. X=IR^n beschäftigt, ist nun X ein (unendlichdimensionaler) Funktionenraum.

Typische Fragestellungen, die wir mit Methoden der Variationsrechnung behandeln:

Auf welcher Bahn rollt eine Kugel am schnellsten von einem Punkt A zu einem niedriger gelegenen Punkt B?
Welche Kurve mit Länge L zwischen zwei Punkten A und B auf der x-Achse schließt die größte Fläche ein?
Welche Funktion beschreibt eine hängende Kette?
Welche ist die kürzeste Verbindungsstrecke zweier Punkte auf einer Oberfläche?

Themen für Vorträge:

01. Fundamentallemma der Variationsrechnung (1.1-1.3)
02. Euler-Lagrange-Gleichung (1.4)
03. Beispiele zur Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung (1.5 ohne Teil 7)
04. Autonome Variationsprobleme (Teil 7 von 1.5, 1.6+1.7)
05. Brachystochronenproblem (1.8+1.9)
06. Funktionale in parametrischer Form (1.10)
07. Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingungen (1.11)
08. Isoperimetrische Nebenbedingungen (2.1 bis einschließlich Satz 2.1.6)
09. Probleme mit isoperimetrischen Nebenbedingungen (2.1 ab Def. 2.1.7, 2.2+2.3)
10. Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingungen unter isoperimetrischen Nebenbedingungen (2.4)
11. Holonome Nebenbedingungen I (2.5 bis S. 114 unten)
12. Holonome Nebenbedingungen II (2.5 ab S. 114 unten)
13. Geodätische (2.6)
14.(+15.) Direkte Methoden der Variationsrechnung (3.1)

Die Kapitelangaben beziehen sich auf die unten angegebene Literaturquelle.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Analysis I+II, Lineare Algebra I

Literaturangaben

Hansjörg Kielhöfer, Variationsrechnung, Vieweg+Teubner, 2010 - verfügbar in der Universitätsbibliothek unter QA785-K47 sowie online über das HRZ-Netzwerk (oder VPN).