242550 Seminar zur topologischen K-Theorie (S) (WiSe 2021/2022)

Worum geht es?
Topologische K-Theorie ist eine (verallgemeinerte) Kohomologietheorie, die auf dem Studium von Vektorbündeln über topologischen Räumen basiert. Ähnlich wie die natürlichen Zahlen hat die Menge aller Isomorphieklassen von (komplexen) Vektorbündeln über einem gegebenen topologischen Raum hat sowohl eine additive als auch eine multiplikative Struktur. Diese sind gegeben durch direkte Summe und Tensorprodukt. Analog zur Konstruktion der ganzen Zahlen aus den Natürlichen, erhält man für jeden kompakten Hausdorff Raum X einen Ring K(X) und für jede stetige Abbildung f:X->Y einen Ringhomomorphismus f*:K(Y)->K(X). Diese Zuordnungen bilden einen kontravarianten Funktor, der sich in eine Folge von Funktoren einordnet, die die alle Axiome einer Kohomologie Theorie erfüllen, bis auf das Dimensionsaxiom.

Die topologische K-Theorie wurde in den 1950er Jahren entwickelt und hat sofort wichtige Anwendungen gefunden. Unter anderem lässt sich mit Methoden der K-Theorie beweisen, dass es außer den reellen und komplexen Zahlen, den Quaternionen und den Cayleyzahlen keine weiteren reellen Divisionsalgebren gibt. Dies folgt aus der Lösung eines subtilen homotopietheoretischen Problems. Das ist allerdings nicht die einzige überraschende Verbindung zu anderen Teilen der Mathematik. Des weiteren ist die K-Theorie eng mit elliptischen Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten verbunden und erlaubt eine elegante Formulierung des Atiyah-Singer Indexsatzes - ein Meilenstein der modernen Mathematik. Und auch vor der Physik macht K-Theorie keinen Halt: gewisse Strukturen in der String Theorie haben in der K-Theorie ihr natürliches Zuhause.

Im Seminar sollen unter anderem Folgende Themen behandelt werden:

• Grundlegende Fakten über Vektorbündel
• Klassifizierende Räume
• Konstruktion von K-Theorie
• Bott Periodizität
• K-Theorie als Kohomologietheorie
• Adams Operationen
• Divisionsalgebren und Parallelisierbarkeit von Sphären
• Elliptische Differentialoperatoren und der Atiyah-Singer Index Satz

Online oder Präsenz?
Sofern möglich und erwünscht, kann das Seminar in Präsenz stattfinden. Ansonsten begnügen wir uns noch einmal mit Zoom. Genaueres wird rechtzeitig bekannt gegeben.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Das Seminar wendet sich an Masterstudierende, die ihre Kenntnisse in Geometrie und Topologie vertiefen wollen. Die Minimalvoraussetzung ist eine gewisse Sattelfestigkeit im Umgang mit topologischen Räumen und etwas Erfahrung mit CW Komplexen, Homotopie- und Homologiegruppen. Motivierte Bachelorstudierende sind allerdings auch herzlich wilkommen.

Literaturangaben

• Hatcher: Vector Bundles & K-Theory
• Atiyah: K-Theory
• Husemöller: Fibre Bundles
• Husemöller, Joachim, Jurco, Schottenloher: Basic Bundle Theory and K-Cohomology Invariants