240035 Proseminar Variationsrechnung (PS) (SoSe 2018)

Auf welcher Bahn rollt eine Kugel am schnellsten von einem Punkt A zu einem niedriger gelegenen Punkt B?
Welche Kurve mit Länge L zwischen zwei Punkten A und B auf der x-Achse schließt die größte Fläche ein?
Welche Funktion beschreibt eine hängende Kette?
Welche ist die kürzeste Verbindungsstrecke zweier Punkte auf einer Oberfläche?

Dies sind typische Fragestellungen, die wir mit Methoden der Variationsrechnung behandeln können. Formal maximieren oder minimieren wir dazu reelle Funktionale, d.h. reellwertige Abbildungen auf einem geeigneten normierten Raum X. Während man sich in der Analysis I und II mit dem Fall X=IR bzw. X=IR^n beschäftigt hat, ist hier nun X in der Regel ein unendlichdimensionaler Funktionenraum.

Themen:

01. Das Fundamentallemma der Variationsrechnung (1.2+1.3)
02. Die Euler-Lagrange-Gleichung (1.4)
03. Beispiele zur Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung (1.5)
04. Autonome Variationsprobleme (1.6+1.7)
05. Das Brachystochronenproblem (1.8+1.9)
06. Funktionale in parametrischer Form I (1.10)
07. Funktionale in parametrischer Form II (1.10)
08. Isoperimetrische Nebenbedingungen I (2.1)
09. Isoperimetrische Nebenbedingungen II (2.1)
10. Probleme mit isoperimetrischen Nebenbedingungen (2.2+2.3)

Die Kapitelangaben beziehen sich auf die unten angegebene Literaturquelle.

Themenvergabe: Bereits vergeben sind die Themen 1, 2, 4, 5 und 8. Bei Interesse an einem der anderen Themen bitte E-Mail an mich.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Analysis I+II
Lineare Algebra I+II

Literaturangaben

Hansjörg Kielhöfer, Variationsrechnung, Vieweg+Teubner, 2010 - verfügbar in der Universitätsbibliothek unter QA785-K47 sowie online über das HRZ-Netzwerk (oder VPN).