241242 Riemannsche Geometrie (V) (SoSe 2017)

Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind glatte Mannigfaltigkeiten, die mit einer riemannschen Metrik ausgestattet sind. Dadurch sind Begriffe wie Geodäten, Abstand, Krümmung, und Volumen definiert. Beispiele riemannscher Mannigfaltigkeiten sind Sphären, euklidische Räume und hyperbolische Räume (die jeweils konstante Krümmung haben) sowie symmetrische Räume (die nicht-konstante, nicht-positive Krümmung haben).

In der Vorlesung werden sowohl die fundamentalen Begriffe als auch die wichtigsten Beispiele eingeführt. Danach wollen wir uns auf Mannigfaltigkeiten mit nicht-positiver Krümmung konzentrieren. Für diese beweisen wir den Satz von Hadamard (die universelle Überlagerung ist zusammenziehbar), und eine Charakterisierung von Cartan und Alexandrov (Dreiecke sind höchstens so dick wie im euklidischen Raum). Die Vorlesung baut auf dem Buch von do Carmo auf.

Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse

Voraussetzungen für die Vorlesung sind mehrdimensionale Differentialrechnung (Analysis II) sowie grundlegende Kenntnisse glatter Mannigfaltigkeiten, wie sie zum Beispiel in der parallel angebotenen Vorlesung "Geometrie und Topologie 1" von Herrn Bux vermittelt werden. Die Vorlesung eignet sich inbesondere für Studentinnen und Studenten im vierten Semester als Ergänzung zur Vorlesung "Geometrie und Topologie 1".

Literaturangaben

do Carmo, Riemannian Geometry (Birkhäuser).
do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces (Prentice Hall).

Externe Kommentarseite

https://www.math.uni-bielefeld.de/~switzel/riemannsche_geometrie.html