241023 Numerik dynamischer Systeme (V) (WiSe 2013/2014)

Diese Vorlesung ist insbesondere als Spezialisierung im Masterstudium geeignet und wendet sich an Studierende, die bereits Numerik I und eine weiterführende Vorlesung in Numerik gehört haben.
In der Theorie dynamischer Systeme beschreibt man das Langzeitverhalten der Lösungen von Evolutionsgleichungen, wobei die Zeit entweder kontinuierlich in en reellen Zahlen oder aber diskret in den ganzen Zahlen abläuft. Im zeitkontinuierlichen Fall handelt es sich um gewöhnliche autonome Differentialgleichungen und im zeitdiskreten Fall um Iterationen nichtlinearer Abbildungen eines endlich dimensionalen Raums. Berücksichtigt man unendlich dimensionale Phasenräume, so kann man auch das Langzeitverhalten zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen einordnen.

Zunächst werden allgemeine Grundbegriffe aus der Theorie dynamischer Systeme auf metrischen Räumen dargestellt (Stetigkeit, Gleichgewicht, periodischer Orbit, invariante Menge, Limesmenge, asymptotische Stabilität, Attraktor) und ihre Beziehungen diskutiert.

Im nächsten Schritt wird für den endlich dimensionalen Fall analysiert, welchen Einfluss die numerische Diskretisierung der Zeit, d. h. der Übergang von einem zeitkontinuierlichen zu einem zeitdiskreten System, auf das Langzeitverhalten der Orbits hat (Shadowing Sätze, Attraktorapproximation). Auch werden Methoden besprochen, die für das Langzeitverhalten entscheidenden Limesmengen (Gleichgewichte, periodische Orbits, Attraktoren) direkt durch Lösungen geeigneter Gleichungssysteme zu bestimmen.

Im weiteren Verlaug werden Diskretisierungen von elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen unter Randbedingungen mit der Finiten-Elemente- bzw. der Finite-Differenzen-Methode besprochen. Insbesondere wird auf die numerische Lösung der entstehenden großen Gleichungssysteme sowie auf die Stabilität und Konvergenz der Verfahren eingegangen.