Modul 24-B-GT Geometrie und Topologie

Die Studierenden lernen die Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie kennen. Sie entwickeln ein Verständnis, wie diese Begriffe bei vielen zunächst abstrakten und unanschaulichen Problemen einen Anschluss an das räumliche Vorstellungsvermögen bewirken. Die Studierenden werden befähigt, das räumliche Anschauungsvermögen zum Führen eigenständiger mathematischer Beweise einzusetzen. Sie erlernen den Umgang mit verschiedenen geometrischen Objekten von zentraler Bedeutung und erwerben grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, die in vertiefenden Veranstaltungen zur algebraischen Geometrie, algebraischer Topologie, Differentialgeometrie, globaler Analysis, Funktionalanalysis, Algebra, Zahlentheorie bis hin zur mathematischen Physik benötigt werden. Sie sind sicher in der Anwendung der Methoden der Geometrie und Topologie und können diese auf neue Problemstellungen der Geometrie und Topologie erfolgreich übertragen.

Den Kompetenzerwerb in den Techniken der Geometrie und Topologie, die Fähigkeit zur Anwendung der damit verbundenen Konzepte, die Präsentations- und Kommunikationsfähigkeit sowie Ausdauer als mathematische Grundkompetenz weisen die Studierenden in den Übungen nach. Das Verständnis der Begrifflichkeiten und deren Zusammenhänge sowie die Sicherheit in der Anwendung der Methoden auch in neuen Problemstellungen wird in der Abschlussprüfung nachgewiesen.

Students familiarise themselves with the basic concepts of set-theoretical topology. They develop an understanding of how these concepts provide a connection to spatial visualisation for many initially abstract and vague problems. Students will be able to use spatial visualisation to conduct independent mathematical proofs. They learn how to deal with various geometric objects of central importance and acquire basic knowledge and skills that are required in in-depth courses on algebraic geometry, algebraic topology, differential geometry, global analysis, functional analysis, algebra, number theory and mathematical physics. They are confident in applying the methods of geometry and topology and can successfully transfer them to new problems in geometry and topology.

In the tutorials, students demonstrate the acquisition of competences in the technologies of geometry and topology, the ability to apply the associated concepts, presentation and communication skills as well as perseverance as a basic mathematical competence. An understanding of the concepts and their interrelationships as well as confidence in applying the methods to new problems is demonstrated in the final exam.

• Topologische Räume, stetige Abbildungen und zugehörige Konstruktionen
• Zusammenhangs-, Trennungs- und Kompaktheitseigenschaften
• Fundamentalgruppe, Satz von Seifert und van Kampen
• Überlagerungstheorie, Hochhebungssatz und topologische Galois-Theorie
• Mannigfaltigkeiten, Vektor- und Faserbündel, Vektorfelder und Differentialformen

optional kann der/die Lehrende als weitere Themen behandeln:

• Einführung von Kategorien, Funktoren und Garben
• Gaußsche Krümmung, Satz von Gauß-Bonnet, Eulercharakteristik
• Faserungen

• Topological spaces, continuous mappings and associated constructions
• Coherence, separation and compactness properties
• Fundamental group, theorem of Seifert and van Kampen
• Superposition theory, lifting theorem and topological Galois theory
• Manifolds, vector and fibre bundles, vector fields and differential forms

Optionally, the teaching staff can cover further topics:

• Introduction of categories, functors and sheaves
• Gaussian curvature, Gauss-Bonnet theorem, Euler characteristic
• Fibres

Kenntnisse der Analysis und Linearen Algebra

Knowledge of analysis and linear algebra

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